Найти дифференциал функции dy. Дифференциалы - это что такое? Как найти дифференциал функции? Геометрический смысл дифференциала
Определение дифференциала
Рассмотрим функцию \(y = f\left(x \right),\) которая является непрерывной в интервале \(\left[ {a,b} \right].\) Предположим, что в некоторой точке \({x_0} \in \left[ {a,b} \right]\) независимая переменная получает приращение \(\Delta x.\) Приращение функции \(\Delta y,\) соответствующее такому изменению аргумента \(\Delta x,\) выражается формулой \[\Delta y = \Delta f\left({{x_0}} \right) = f\left({{x_0} + \Delta x} \right) - f\left({{x_0}} \right).\] Для любой дифференцируемой функции приращение \(\Delta y\) можно представить в виде суммы двух слагаемых: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right),\] где первый член (т.н. главная часть приращения) линейно зависит от приращения \(\Delta x,\) а второй член имеет более высокий порядок малости относительно \(\Delta x.\) Выражение \(A\Delta x\) называется дифференциалом функции и обозначается символом \(dy\) или \(df\left({{x_0}} \right).\)
Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции \(\Delta y\) на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной \({x_0} = 1 \,\text{м}\,\) (рисунок \(1\)). Его площадь, очевидно, равна \[{S_0} = x_0^2 = 1 \,\text{м}^2.\] Если сторону квадрата увеличить на \(\Delta x = 1\,\text{см},\) то точное значение площади увеличенного квадрата будет составлять \ т.е. приращение площади \(\Delta S\) равно \[ {\Delta S = S - {S_0} = 1,0201 - 1 = 0,0201\,\text{м}^2 } = {201\,\text{см}^2.} \] Представим теперь это приращение \(\Delta S\) в таком виде: \[\require{cancel} {\Delta S = S - {S_0} = {\left({{x_0} + \Delta x} \right)^2} - x_0^2 } = {\cancel{x_0^2} + 2{x_0}\Delta x + {\left({\Delta x} \right)^2} - \cancel{x_0^2} } = {2{x_0}\Delta x + {\left({\Delta x} \right)^2} } = {A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right) } = {dy + o\left({\Delta x} \right).} \] Итак, приращение функции \(\Delta S\) состоит из главной части (дифференциала функции), которая пропорциональна \(\Delta x\) и равна \ и члена более высокого порядка малости, в свою очередь, равного \[\omicron\left({\Delta x} \right) = {\left({\Delta x} \right)^2} = {0,01^2} = 0,0001\,\text{м}^2 = 1\,\text{см}^2.\] В сумме оба этих члена составляют полное приращение площади квадрата, равное \(200 + 1 = 201\,\text{см}^2.\)
Заметим, что в данном примере коэффициент \(A\) равен значению производной функции \(S\) в точке \({x_0}:\) \ Оказывается, что для любой дифференцируемой функции справедлива следующая теорема :
Коэффициент \(A\) главной части приращения функции в точке \({x_0}\) равен значению производной \(f"\left({{x_0}} \right)\) в этой точке, т.е. приращение \(\Delta y\) выражается формулой \[ {\Delta y = A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right) } = {f"\left({{x_0}} \right)\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right).} \] Разделив обе части этого равенства на \(\Delta x \ne 0,\) имеем \[ {\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A + \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}} } = {f"\left({{x_0}} \right) + \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}}.} \] В пределе при \(\Delta x \to 0\) получаем значение производной в точке \({x_0}:\) \[ {y"\left({{x_0}} \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {A = f"\left({{x_0}} \right).} \] Здесь мы учли, что для малой величины \(\omicron\left({\Delta x} \right)\) более высокого порядка малости, чем \(\Delta x,\) предел равен \[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}} = 0.\] Если считать, что дифференциал независимой переменной \(dx\) равен ее приращению \(\Delta x:\) \ то из соотношения \ следует, что \ т.е. производную функции можно представить как отношение двух дифференциалов.
Геометрический смысл дифференциала функции
На рисунке \(2\) схематически показана разбивка приращения функции \(\Delta y\) на главную часть \(A\Delta x\) (дифференциал функции) и член высшего порядка малости \(\omicron\left({\Delta x} \right)\).
Касательная \(MN\), проведенная к кривой функции \(y = f\left(x \right)\) в точке \(M\), как известно, имеет угол наклона \(\alpha\), тангенс которого равен производной: \[\tan \alpha = f"\left({{x_0}} \right).\] При изменении аргумента на \(\Delta x\) касательная получает приращение \(A\Delta x.\) Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения \(\Delta y\) (отрезок \(N{M_1}\)) соответствует "нелинейной" добавке с более высоким порядком малости относительно \(\Delta x\).
Свойства дифференциала
Пусть \(u\) и \(v\) − функции переменной \(x\). Дифференциал обладает следующими свойствами:
- Постоянный коэффициент можно выносить за знак дифференциала:
\(d\left({Cu} \right) = Cdu\), где \(C\) − постоянное число.
- Дифференциал суммы (разности) функций:
\(d\left({u \pm v} \right) = du \pm dv.\)
- Дифференциал постоянной величины равен нулю:
\(d\left(C \right) = 0.\)
- Дифференциал независимой переменной \(x\) равен ее приращению:
\(dx = \Delta x.\)
- Дифференциал линейной функции равен ее приращению:
\(d\left({ax + b} \right) = \Delta \left({ax + b} \right) = a\Delta x.\)
- Дифференциал произведения двух функций:
\(d\left({uv} \right) = du \cdot v + u \cdot dv.\)
- Дифференциал частного двух функций:
\(d\left({\large\frac{u}{v}\normalsize} \right) = \large\frac{{du \cdot v - u \cdot dv}}{{{v^2}}}\normalsize.\)
- Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента:
\(dy = df\left(x \right) = f"\left(x \right)dx.\)
Инвариантность формы дифференциала
Рассмотрим композицию двух функций \(y = f\left(u \right)\) и \(u = g\left(x \right),\) т.е. сложную функцию \(y = f\left({g\left(x \right)} \right).\) Ее производная определяется выражением \[{y"_x} = {y"_u} \cdot {u"_x},\] где нижний индекс обозначает переменную, по которой производится дифференцирование.
Дифференциал "внешней" функции \(y = f\left(u \right)\) записывается в виде \ Дифференциал "внутренней" функции \(u = g\left(x \right)\) можно представить аналогичным образом: \ Если подставить \(du\) в предыдущую формулу, то получим \ Поскольку \({y"_x} = {y"_u} \cdot {u"_x},\) то \ Видно, что в случае сложной функции мы получили такое же по форме выражение для дифференциала функции, как и в случае "простой" функции. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала .
Дифференциал
(первого порядка)
функции
-
это главная
часть ее приращения, линейная относительно
приращения аргумента. Дифференциал
аргумента равен его приращению:
.
Дифференциал функции равен произведению
ее производной на дифференциал аргумента
.
Основные свойства дифференциала:
1.
,
где-const.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
,
.
6.
,
.
Форма дифференциала первого порядка
не зависит от того, является аргумент
функции независимой переменной или
функцией другого аргумента. В этом
состоит свойствоинвариантности
формы дифференциала первого порядка
.
Дифференциалом
второго порядка
функции
называется дифференциал от дифференциала
первого порядка:
.
Аналогично
определяется дифференциал
третьего порядка:
.Дифференциал
n
-го
порядка:
.
Если
и- независимая переменная, то дифференциалы
высших порядков вычисляются по формулам:
,
,…..,
.
Если
,
,
то
,
где дифференцирование функциивыполняется по переменной.
Это имеет место и для дифференциалов
более высоких порядков.
Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.
Геометрически
дифференциал представляет собой
приращение ординаты касательной к
графику функции в точке
.
Если
приращение аргумента мало по абсолютной
величине, то
и.
Таким образом, дифференциал функции
может применяться для приближенных
вычислений.
Абсолютная
величина разности между истинным
значением какой-либо величины
и ее приближенным значениемназывается
абсолютной погрешностью
и
обозначается
.
Абсолютная
величина отношения абсолютной погрешности
к истинному значению называется
относительной
погрешностью
и обозначается
.
Относительная погрешность обычно
выражается в процентах
.
Если
приращение функции заменить ее
дифференциалом, то получим приближенное
значение приращения
.
В этом случае абсолютная погрешность
равна
,
а относительная погрешность будет
.
С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешностьаргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.
Пусть
требуется вычислить значение функции
при
некотором значении аргумента,
истинная величина которого нам известна,
но дано его приближенное значениес абсолютной погрешностью
,
.
Тогда
Отсюда
видно, что
.
Относительная погрешность функции выражается формулой
.
Пример
1.
Найти
дифференциал функции
.
Решение:
.
Пример
2.
Найти все
дифференциалы функции
.
Решение: ,
,
.
Пример
3.
Найти
для неявно заданной функции
.
Решение: Функция задана неявно. Находим первую производную
,
тогда
.
Вычислим вторую производную
,
отсюда
.
Пример
4.
Выразить
дифференциал сложной функции через
независимую переменную и дифференциал:
,
,
.
Решение:
.
.
Пример
5.
Вычислить
приближенное значение
.
Решение:
Рассмотрим функцию
.
Полагая
,
и применяя формулу,
получим:
Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.
Решение:
Воспользуемся формулой
.
Полагая
,
,
имеем.
Следовательно, приближенное значение
площади круга составляет.
Пример
7.
Для функции
найти приращение ординаты касательной
и приращение функции при переходе
аргументаот значения
к
.
Решение:
согласно геометрическому смыслу
дифференциала, приращению ординаты
касательной соответствует дифференциал
функции
.
При
иполучим
.
Приращение функции находим по формуле
Следовательно,
приращение ординаты касательной равно
0,7, а приращение функции 0,71. Т. к.
,
то.
Пример
8.
Найти
дифференциал и приращение функции
в точке
и
.
Найти абсолютную и относительную
погрешности значения функции при замене
приращения функции ее дифференциалом.
Решение:
Имеем:
,
При
и
получим:
, .
Абсолютная
погрешность
,
а относительная погрешность
.
Пример
9.
При измерении
сторона куба
оказалась равной 4 см. При этом максимально
возможная погрешность измерения
находится в пределах
см.
Определить абсолютную и относительную
погрешности при вычислении объема куба.
Решение:
Объем куба равен
см.
Возможная
неточность измерения
.
Отсюда абсолютная погрешность .
Относительная
погрешность
.
Пример
10.
Найти
приближенно
.
Решение:
Полагаем
,
тогда
,
Если
принять
,
то
,
.
Найти дифференциалы указанных порядков от функций:
1.
,
-?.
Ответ:
.
2.
,
-?
Ответ:
.
3.
,
-?
Ответ:
.
4.
,
-?
Ответ:
.
5.
,
,
,
-? Ответ:
.
,
.
6.
,
-?
7.
,
-? Ответ:
.
8.
,
-? Ответ:
.
9.
-? Ответ:
.
10.
-? Ответ:
.
11.
,
-? Ответ:
.
12.
,
-? Ответ:.
13.
,
.
-?
Ответ:
,
.
14.
,
,
-?
Ответ:
,
.
15.
-?
Найти приближенное значение:
16.
.
Ответ: 0,811.
17.
.
Ответ: 1,035.
18.
.
Ответ: 0,078.
19.
.
Ответ: 1,9938.
20.
.
Ответ: 2,02.
21.
.
Ответ:3,03.
22.
.
Ответ:
.
23.
.
Ответ:
.
24.
.
Ответ: 0,1.
25.
.
Ответ:
.
26.
Определить, на сколько приблизительно
увеличится объем шара, если его радиус
см
увеличить на 0,2см. Ответ: 565
.
27. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м. Ответ: .
28.
Сравнить приращение и дифференциал
функции
.
Ответ:
,
.
29.
Вычислить
,
для функции
при
и
.
Ответ:
,
.
30. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.
Ответ:
.
31. Найти приближенное значение из уравнения:
Ответ:
.
32.
Найти приближенно значение объема шара
радиуса
.
Ответ:
.
33.
Ребра куба увеличены на 1см. При этом
дифференциал
объемакуба оказался равным 12 см.
Найти первоначальную длину ребер.
Ответ: 2 см.
34.
Радиус круга увеличен на 1см. Дифференциал
площади круга оказался при этом равным
см.
Найти первоначальную величину радиуса.
Ответ: 3 см.
35.
Определить приблизительно относительную
погрешность при вычислении поверхности
сферы, если при определении ее радиуса
относительная погрешность составила
.
Ответ:
.
Дифференциальное уравнение
Дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором свзяны между собой переменные, постоянные коэффициенты, искомая функция и производные от функции любого порядка. При этом максимальный порядок производной функции, который присутствует в уравнении, определяет порядок всего дифференциального уравнения. Решить диф уравнение - это определить искомую функцию, как зависимость от переменной.
Современные компьютеры позволяют решать сложнейшие диф уравнения численно. Нахождение же аналитического решения является сложной задачей. Существует множество типов уравнений и для каждого теория предлагает свои методы решения. На сайте сайт диф уравнения можно вычислять в режиме онлайн, причём практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т.д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям. Мы предлагаем для решения заполнить два поля: само собственно уравнение и при необходимости - начальные условия (задачу Коши) - то есть информацию о граничных условиях искомой функции. Ведь как известно, диф уравнения имеют бесконечное количество решений, поскольку в ответе присутствуют константы, которые могут принимать произвольное значение. Задав задачу Коши, мы из всего множества решений выбираем частные.
Данный онлайн калькулятор разработан компанией WolframAlpha и позволяет решать как стандартные дифференциальные уравнения, так и уравнения, не имеющие стандартного подхода для решения.
24.1. Понятие дифференциала функции
Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.
Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/D х=ƒ"(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.
Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ"(х) ∆х и а ∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так кака второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:
Поэтому первое слагаемое ƒ"(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):
dy=ƒ"(х) ∆х. (24.1)
Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.
Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.
Поэтому формулу (24.1) можно записать так:
dy=ƒ"(х)dх, (24.2)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х). Теперь обозначение
производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.
<< Пример 24.1
Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).
Решение: По формуле dy=ƒ"(х) dx находим
dy=(3х 2 -sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.
<< Пример 24.2
Найти дифференциал функции
Вычислить dy при х=0, dx=0,1.
Решение:
Подставив х=0 и dx=0.1, получим
24.2. Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл дифференциала.
Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:
Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ"(х). Поэтому АВ=ƒ"(х) ∆х.
Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.
24.3 Основные теоремы о дифференциалах
Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f"(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.
Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy=с"dx=0 dx=0.
Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:
Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:
d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu
Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать
у" х =у" u u" x .
Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у" х dx=у" u u" х dx. Но у" х dx=dy и u" х dx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:
dy=у" u du.
Сравнивая формулы dy=у" х dx и dy=у" u du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.
Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.
Формула dy=у" х dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у" u du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х - независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.
С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.
Например: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu
24.4. Таблица дифференциалов
24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α ∆х. Отбрасывая бесконечно малую α ∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство
∆у≈dy, (24.3)
причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.
<< Пример 24.3
Найти приближенное значение приращения функции у=х 3 -2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.
Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.
Итак, ∆у» 0,01.
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:
∆у=((х+∆х) 3 -2(х+∆х)+1)-(х 3 -2х+1)=х 3 +3х 2 ∆х+3х (∆х) 2 +(∆х) 3 -2х-2 ∆х+1-х 3 +2х-1=∆х(3х 2 +3х ∆х+(∆х) 2 -2);
Абсолютная погрешность приближения равна
|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.
Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим
ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х
ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)
Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.
<< Пример 24.4
Вычислить приближенно arctg(1,05).
Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:
arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,
т. е.
Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:
Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М (∆х) 2 , где М - наибольшее значение |ƒ"(х)| на сегменте [х;х+∆х].
<< Пример 24.5
Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела
H=g л t 2 /2, g л =1,6 м/с 2 .
Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (ΔH≈dH)
H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. При t=10 с и ∆t=dt=0,04 с, H"(t)=g л t, находим
Задача (для самостоятельного решения). Тело массой m=20 кг движется со скоростью ν=10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела
24.6. Дифференциалы высших порядков
Пусть у=ƒ(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy=ƒ"(х)dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2 y или d 2 ƒ(х).
Итак, по определению d 2 y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у=ƒ(х).
Так как dx=∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:
d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(х)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 т. е.
d 2 y=ƒ"(х)dх 2 . (24.5)
Здесь dx 2 обозначает (dx) 2 .
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка
d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(х)dx 2)≈f"(x)(dx) 3 .
И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .
Отсюда находим, что, В частности, при n=1,2,3
соответственно получаем:
т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х - независимая переменная. Если же функцию у=ƒ(х), где х - функция от кαкой-mo другой независимой переменной , то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения (d(uv)=vdu+udv), получаем:
d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(х))dx+ƒ"(х) d(dx)=ƒ"(х)dx dx+ƒ"(х) d 2 x, т. е.
d 2 y=ƒ"(х)dx 2 +ƒ"(х) d 2 x. (24.6)
Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое ƒ"(х) d 2 х.
Ясно, что если х - независимая переменная, то
d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0
и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).
<< Пример 24.6
Найти d 2 y, если у=е 3х и х - независимая переменная.
Решение: Так как у"=3е 3х, у"=9e 3х, то по формуле (24.5) имеем d 2 y=9e 3x dx 2 .
<< Пример 24.7
Найти d 2 y, если у=х 2 и х=t 3 +1и t- независимая переменная.
Решение: Используем формулу (24.6): так как
у"=2х, у"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 ,
то d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2
Другое решение: у=х 2 , х=t 3 +1. Следовательно, у=(t 3 +1) 2 . Тогда по формуле (24.5)
d 2 у=у ¢¢ dt 2 ,
d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .