Сложение неравенств с разными знаками. Решаем систему неравенств — свойства и методы вычисления. Сбор и использование персональной информации
1 . Если a > b , то b < a ; наоборот, если а < b , то b > a .
Пример . Если 5х – 1 > 2x + 1 , то 2х +1< 5x — 1 .
2 . Если a > b и b > с , то а > с . Точно так же, а < b и b < с , то a < с .
Пример . Из неравенств x > 2у , 2y > 10 следует, что x >10 .
3
. Если a > b,
то a + c > b + с
и a – c > b — c
. Если же а < b
, то а + с
Пример 1 . Дано неравенство х + 8>3 . Вычитая из обеих частей неравенства число 8, находим х > — 5 .
Пример 2 . Дано неравенство х – 6 < — 2 . Прибавляя обеим частям 6, находим х < 4 .
4 . Если a > b и с > d, то a + c >b + d ; точно так же если а < b и с < d , то a + с < b + d , т. е. два неравенства одинакового смысла) можно почленно складывать. Это справедливо и для любого числа неравенств, например, если a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3 , то a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3 .
Пример 1 . Неравенства — 8 > — 10 и 5 > 2 верны. Складывая их почленно, находим верное неравенство — 3 > — 8 .
Пример 2 . Дана система неравенств (1/2)х + (1/2)у < 18 ; (1/2)х — (1/2)у < 4 . Складывая их почленно, находим x < 22 .
Замечание. Два неравенства одинакового смысла нельзя почленно вычитать друг из друга, так как результат может быть верным, но может быть и неверным. Например, если из неравенства 10 > 8 2 > 1 , то получим верное неравенство 8 > 7 но если из того же неравенства 10 > 8 почленно вычесть неравенство 6 > 1 , то получим нелепость. Сравнить следующий пункт.
5 . Если a > b и c < d , то а – с > b – d ; если а < b и с — d , то а — с < b — d , т. е. из одного неравенства можно почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла), оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое.
Пример 1 . Неравенства 12 < 20 и 15 > 7 верны. Вычитая почленно второе из первого и оставляя знак первого, получаем верное неравенство — 3 < 13 . Вычитая почленно первое из второго и оставляя знак второго, находим верное неравенство 3 > — 13 .
Пример 2 . Дана система неравенств (1/2)х + (1/2)у < 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Вычитая из первого неравенства второе, находим y < 10 .
6 . Если а > b и m - положительное число, то ma > mb и a/n > b/n , т. е. обе части неравенства можно разделить или умножить на одно и то же положительное число (знак неравенства остается тем же).Если же a > b и n — отрицательное число, то na < nb и a/n < b/n , т. е. обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, но при том знак неравенства нужно изменить на противоположный.
Пример 1 . Разделив обе части верного неравенства 25 > 20 на 5 , получим верное неравенство 5 > 4 . Если же мы делим обе части неравенства 25 > 20 на — 5 , то нужно переменить знак > на < , и тогда получим верное неравенство — 5 < — 4 .
Пример 2 . Из неравенства 2х < 12 следует, что х < 6 .
Пример 3 . Из неравенства -(1/3)х — (1/3)х > 4 следует, что x < — 12 .
Пример 4 . Дано неравенство х/к > у/l ; из него следует, что lx > ky , если знаки чисел l и k одинаковы, и что lx < ky , если знаки чисел l и k противоположны.
Неравенства в математике играют заметную роль. В школе в основном мы имеем дело с числовыми неравенствами , с определения которых мы начнем эту статью. А дальше перечислим и обоснуем свойства числовых неравенств , на которых базируются все принципы работы с неравенствами.
Сразу отметим, что многие свойства числовых неравенств аналогичны . Поэтому, излагать материал будем по такой же схеме: формулируем свойство, приводим его обоснование и примеры, после чего переходим к следующему свойству.
Навигация по странице.
Числовые неравенства: определение, примеры
Когда мы вводили понятие неравенства, то заметили, что неравенства часто определяют по виду их записи. Так неравенствами мы назвали имеющие смысл алгебраические выражения, содержащие знаки не равно ≠, меньше <, больше >, меньше или равно ≤ или больше или равно ≥. На основе приведенного определения удобно дать определение числового неравенства:
Встреча с числовыми неравенствами происходит на уроках математики в первом классе сразу после знакомства с первыми натуральными числами от 1 до 9 , и знакомства с операцией сравнения. Правда, там их называют просто неравенствами, опуская определение «числовые». Для наглядности не помешает привести пару примеров простейших числовых неравенств из того этапа их изучения: 1<2 , 5+2>3 .
А дальше от натуральных чисел знания распространяются на другие виды чисел (целые, рациональные, действительные числа), изучаются правила их сравнения, и это значительно расширяет видовое разнообразие числовых неравенств: −5>−72 , 3>−0,275·(7−5,6) , .
Свойства числовых неравенств
На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств числовых неравенств . Они вытекают из введенного нами понятия неравенства. По отношению к числам это понятие задается следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел (его часто называют разностным определением неравенства):
Определение.
- число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b является положительным числом;
- число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b – отрицательное число;
- число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю.
Это определение можно переделать в определение отношений «меньше или равно» и «больше или равно». Вот его формулировка:
Определение.
- число a больше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неотрицательное число;
- число a меньше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неположительное число.
Данные определения мы будем использовать при доказательстве свойств числовых неравенств, к обзору которых мы и переходим.
Основные свойства
Обзор начнем с трех основных свойств неравенств. Почему они основные? Потому, что они являются отражением свойств неравенств в самом общем смысле, а не только по отношению к числовым неравенствам.
Числовым неравенствам, записанным с использованием знаков < и >, характерно:
Что касается числовых неравенств, записанных при помощи знаков нестрогих неравенства ≤ и ≥, то они обладают свойством рефлексивности (а не антирефлексивности), так как неравенства a≤a и a≥a включают в себя случай равенства a=a . Также им свойственны антисимметричность и транзитивность.
Итак, числовые неравенства, записанные при помощи знаков ≤ и ≥, обладают свойствами:
- рефлексивности a≥a и a≤a – верные неравенства;
- антисимметричности, если a≤b , то b≥a , и если a≥b , то b≤a .
- транзитивности, если a≤b и b≤c , то a≤c , а также, если a≥b и b≥c , то a≥c .
Их доказательство очень похоже на уже приведенные, поэтому не будем на них останавливаться, а перейдем к другим важным свойствам числовых неравенств.
Другие важные свойства числовых неравенств
Дополним основные свойства числовых неравенств еще серией результатов, имеющих большое практическое значение. На них основаны методы оценки значений выражений, на них базируются принципы решения неравенств и т.п. Поэтому целесообразно хорошо разобраться с ними.
В этом пункте свойства неравенств будем формулировать только для одного знака строгого неравенства, но стоит иметь в виду, что аналогичные свойства будут справедливы и для противоположного ему знака, а также для знаков нестрогих неравенств. Поясним это на примере. Ниже мы сформулируем и докажем такое свойство неравенств: если a
Для удобства представим свойства числовых неравенств в виде списка, при это будем давать соответствующее утверждение, записывать его формально с помощью букв, приводить доказательство, после чего показывать примеры использования. А в конце статьи сведем все свойства числовых неравенств в таблицу. Поехали!
Следствие. Почленное умножение одинаковых верных неравенств вида a
Прибавление (или вычитание) любого числа к обеим частям верного числового неравенства дает верное числовое неравенство. Другими словами, если числа a и b таковы, что a
Для доказательства составим разность левой и правой частей последнего числового неравенства, и покажем, что она отрицательна при условии a(a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b . Так как по условию a
На доказательстве этого свойства числовых неравенств для вычитания числа c не останавливаемся, так как на множестве действительных чисел вычитание можно заменить прибавлением −c .
Например, если к обеим частям верного числового неравенства 7>3 прибавить число 15 , то получится верное числовое неравенство 7+15>3+15 , что то же самое, 22>18 .
Если обе части верного числового неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число c, то получится верное числовое неравенство. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательное число c , и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В буквенном виде: если для чисел a и b выполняется неравенство ab·c.
Доказательство. Начнем со случая, когда c>0
. Составим разность левой и правой частей доказываемого числового неравенства: a·c−b·c=(a−b)·c
. Так как по условию a0
, то произведение (a−b)·c
будет отрицательным числом как произведение отрицательного числа a−b
на положительное число c
(что следует из ). Следовательно, a·c−b·c<0
, откуда a·c На доказательстве рассмотренного свойства для деления обеих частей верного числового неравенства на одно и то же число c не останавливаемся, так как деление всегда можно заменить умножением на 1/c
. Покажем пример применения разобранного свойства на конкретных числах. Например, можно обе части верного числового неравенства 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Из только что разобранного свойства умножения обеих частей числового равенства на число следуют два практически ценных результата. Так их и сформулируем в виде следствий. Все разобранные выше в этом пункте свойства объединяет то, что сначала дано верное числовое неравенство, и из него посредствам некоторых манипуляций с частями неравенства и знаком получается другое верное числовое неравенство. Сейчас мы приведем блок свойств, в которых изначально дано не одно, а несколько верных числовых неравенств, а новый результат получается из их совместного использования после сложения или умножения их частей. Если для чисел a
, b
, c
и d
справедливы неравенства a
Докажем, что (a+c)−(b+d)
– отрицательное число, этим будет доказано, что a+c По индукции это свойство распространяется на почленное сложение трех, четырех, и, вообще, любого конечного числа числовых неравенств. Так, если для чисел a 1 , a 2 , …, a n
и b 1 , b 2 , …, b n
справедливы неравенства a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Например, нам даны три верных числовых неравенства одного знака −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Можно почленно умножать числовые неравенства одного знака, обе части которых представлены положительными числами. В частности, для двух неравенств a
Для доказательства можно умножить обе части неравенста a
Указанное свойство справедливо и для умножения любого конечного числа верных числовых неравенств с положительными частями. То есть, если a 1 , a 2 , …, a n
и b 1 , b 2 , …, b n
– положительные числа, причем a 1 a 1 ·a 2 ·…·a n . Отдельно стоит заметить, что если в записи числовых неравенств содержатся неположительные числа, то их почленное умножение может приводить к неверным числовым неравенствам. Например, числовые неравенства 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
В заключение статьи, как и было обещано, соберем все изученные свойства в таблицу свойств числовых неравенств
:
Список литературы.
- Моро М. И. . Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Системой неравенств принято называть запись нескольких неравенств под знаком фигурной скобки (при этом число и вид неравенств, входящих в систему, может быть произвольным).
Чтобы решить систему, необходимо найти пересечение решений всех входящих в неё неравенств. Решением неравенства в математике называется всякое значение переменой, при котором данное неравенство верно. Другими словами, требуется найти множество всех его решений – оно и будет называться ответом. В качестве примера попробуем научиться решать систему неравенств методом интервалов.
Свойства неравенств
Для решения поставленной задачи важно знать основные свойства, присущие неравенствам, которые можно сформулировать следующим образом:
- К обеим частям неравенства можно прибавить одну и ту же функцию, определённую в области допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства;
- Если f(x) > g(x) и h(x) – любая функция определенная в ОДЗ неравенства, то f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
- Если обе части неравенства умножить на положительную функцию, определённую в ОДЗ данного неравенства (или на положительное число), то получим неравенство, равносильное исходному;
- Если обе части неравенства умножить на отрицательную функцию, определённую в ОДЗ данного неравенства (или на отрицательное число) и знак неравенства изменить на противоположный, то полученное неравенство эквивалентно данному неравенству;
- Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, а неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать;
- Неравенства одного смысла с положительными частями можно почленно умножать, а неравенства, образованные неотрицательными функциями, можно почленно возводить в положительную степень.
Чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство отдельно, а затем сопоставить их. В результате будет получен положительный или отрицательный ответ, который означает, имеет ли система решение или нет.
Метод интервалов
При решении системы неравенств математики часто прибегают к методу интервалов, как к одному из наиболее эффективных. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 (<, <, >) к решению уравнения f(x) = 0.
Суть метода заключается в следующем:
- Найти область допустимых значений неравенства;
- Привести неравенство к виду f(x) > 0(<, <, >), то есть перенести правую часть влево и упростить;
- Решить уравнение f(x) = 0;
- Изобразить на числовой прямой схему функции. Все точки, отмеченные на ОДЗ и ограничивающие его, разбивают это множество на так называемые интервалы знакопостоянства. На каждом таком интервале определяется знак функции f(х);
- Записать ответ в виде объединения отдельных множеств, на которых f{x) имеет соответствующий знак. Точки ОДЗ, являющиеся граничными, включаются (или не включаются) в ответ после дополнительной проверки.
Поле действительных чисел обладает свойством упорядоченности (п. 6, стр. 35): для любых чисел а, b имеет место одно и только одно из трех соотношений: или . При этом запись а > b означает, что разность положительна, а запись разность отрицательна. В отличие от поля действительных чисел, поле комплексных чисел не упорядочивается: для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не определяются; поэтому в данной главе рассматриваются только действительные числа.
Соотношения назовем неравенствами, числа а и b - членами (или частями) неравенства, знаки > (больше) и Неравенства а > b и с > d называются неравенствами одинакового (или одного и того же) смысла; неравенства а > b и с Из определения неравенства сразу следует, что
1) любое положительное число больше нуля;
2) любое отрицательное число меньше нуля;
3) любое положительное число больше любого отрицательного числа;
4) из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше.
Все эти утверждения допускают простое геометрическое истолкование. Пусть положительное направление числовой оси идет вправо от начальной точки; тогда, каковы бы ни были знаки чисел, большее из них изображается точкой, лежащей правее точки, изображающей меньшее число.
Неравенства обладают следующими основными свойствами.
1. Несимметричность (необратимость): если , то , и обратно.
Действительно, если разность положительна, то разность отрицательна. Говорят, что при перестановке членов неравенства надо смысл неравенства изменить на противоположный.
2. Транзитивность: если , то . Действительно, из положительности разностей следует и положительность
Кроме знаков неравенства применяют также знаки неравенства и Они определяются следующим образом: запись означает, что либо либо Поэтому, например, можно писать , а также . Обычно неравенства, записанные с помощью знаков называют строгими неравенствами, а записанные с помощью знаков нестрогими неравенствами. Соответственно и сами знаки называют знаками строгого или нестрогого неравенства. Свойства 1 и 2, рассмотренные выше, верны и для нестрогих неравенств.
Рассмотрим теперь действия, которые можно производить над одним или несколькими неравенствами.
3. От прибавления к членам неравенства одного и того же числа смысл неравенства не изменяется.
Доказательство. Пусть даны неравенство и произвольное число . По определению разность положительна. Прибавим к этому числу два противоположных числа от чего оно не изменится, т. е.
Это равенство можно переписать так:
Из этого следует, что разность положительна, т. е. что
а это и надо было доказать.
На этом основана возможность перекоса любого члена неравенства из одной его части в другую с противоположным знаком. Например, из неравенства
следует, что
4. При умножении членов неравенства на одно и то же положительное число смысл неравенства не изменяется; при умножении членов неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства изменяется на противоположный.
Доказательство. Пусть тогда Если то так как произведение положительных чисел положительно. Раскрыв скобки в левой части последнего неравенства, получим , т. е. . Аналогичным образом рассматривается случай .
Точно такой же вывод можно сделать и относительно деления частей неравенства на какое-либо отличное от нуля число, так как деление на число равносильно умножению на число а числа имеют одинаковые знаки.
5. Пусть члены неравенства положительны. Тогда при возведении его членов в одну и ту же положительную степень смысл неравенства не изменяется.
Доказательство. Пусть этом случае по свойству транзитивности и . Тогда в силу монотонного возрастания степенной функции при и положительном будем иметь
В частности, если где -натуральное число, то получим
т. е. при извлечении корня из обеих частей неравенства с положительными членами смысл неравенства не изменяется.
Пусть члены неравенства отрицательны. Тогда нетрудно доказать, что при возведении его членов в нечетную натуральную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную натуральную степень изменится на противоположный. Из неравенств с отрицательными членами можно также извлекать корень нечетной степени.
Пусть, далее, члены неравенства имеют разные знаки. Тогда при возведении его в нечетную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную степень о смысле получающегося неравенства ничего определенного в общем случае сказать нельзя. В самом деле, при возведении числа в нечетную степень знак числа сохраняется и поэтому смысл неравенства не изменяется. При возведении же неравенства в четную степень образуется неравенство с положительными членами, и его смысл будет зависеть от абсолютных величин членов исходного неравенства может получиться неравенство того же смысла, что и исходное, неравенство противоположного смысла и даже равенство!
Все сказанное о возведении неравенств в степень полезно проверить на следующем примере.
Пример 1. Возвести в указанную степень следующие неравенства, изменив в случае необходимости знак неравенства на противоположный или на знак равенства.
а) 3 > 2 в степень 4; б) в степень 3;
в) в степень 3; г) в степень 2;
д) в степень 5; е) в степень 4;
ж) 2 > -3 в степень 2; з) в степень 2,
6. От неравенства можно перейти к неравенству между если члены неравенства оба положительны или оба отрицательны, то между их обратными величинами имеется неравенство противоположного смысла:
Доказательство. Если а и b - одного знака, то их произведение положительно. Разделим на неравенство
т. е. , что и требовалось получить.
Если члены неравенства имеют противоположные знаки, то неравенство между их обратными величинами имеет тот же смысл, так как знаки обратных величин те же, что и знаки самих величин.
Пример 2. Проверить последнее свойство 6 на следующих неравенствах:
7. Логарифмирование неравенств можно производить лишь в случае, когда члены неравенств положительны (отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют).
Пусть . Тогда при будет
а при будет
Правильность этих утверждений основана на монотонности логарифмической функции, которая возрастает, если основание и убывает при
Итак, при логарифмировании неравенства, состоящего из положительных членов, по основанию, большему единицы, образуется неравенство того же смысла, что и данное, а при логарифмировании его по положительному основанию, меньшему единицы, - неравенство противоположного смысла.
8. Если , то если , но , то .
Это сразу следует из свойств монотонности показательной функции (п. 42), которая возрастает в случае и убывает, если
При почленном сложении неравенств одного и того же смысла образуется неравенство того же смысла, что и данные.
Доказательство. Докажем это утверждение для двух неравенств, хотя оно верно для любого количества складываемых неравенств. Пусть даны неравенства
По определению числа будут положительными; тогда положительной оказывается и их сумма, т. е.
Группируя иначе слагаемые, получим
и, следовательно,
а это и надо было доказать.
Нельзя сказать Ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при сложении двух или нескольких неравенств разного смысла.
10. Если из одного неравенства почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, то образуется неравенство того же смысла, что и первое.
Доказательство. Пусть даны два неравенства разного смысла. Второе из них по свойству необратимости можно переписать так: d > с. Сложим теперь два неравенства одинакового смысла и получим неравенство
того же смысла. Из последнего находим
а это и надо было доказать.
Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при вычитании из одного неравенства другого неравенства того же смысла.
Неравенство - это запись, в которой числа, переменные или выражения соединены знаком <, >, ⩽ или ⩾. То есть неравенством можно назвать сравнение чисел, переменных или выражений. Знаки < , > , ⩽ и ⩾ называются знаками неравенства .
Виды неравенств и как они читаются:
Как видно из примеров, все неравенства состоят из двух частей: левой и правой, соединённых одним из знаков неравенства. В зависимости от знака, соединяющего части неравенств, их делят на строгие и нестрогие.
Строгие неравенства - неравенства, у которых части соединены знаком < или >. Нестрогие неравенства - неравенства, у которых части соединены знаком ⩽ или ⩾.
Рассмотрим основные правила сравнения в алгебре:
- Любое положительное число больше нуля.
- Любое отрицательное число меньше нуля.
- Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютное значение меньше. Например, -1 > -7.
- a
и b
положительна:
a - b > 0,
То a больше b (a > b ).
- Если разность двух неравных чисел a
и b
отрицательна:
a - b < 0,
То a меньше b (a < b ).
- Если число больше нуля, то оно положительное:
a > 0, значит a - положительное число.
- Если число меньше нуля, то оно отрицательное:
a < 0, значит a - отрицательное число.
Равносильные неравенства - неравенства, являющиеся следствием другого неравенства. Например, если a меньше b , то b больше a :
a < b и b > a - равносильные неравенства
Свойства неравенств
- Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или вычесть из обеих частей одно и то же число, то получится равносильное неравенство, то есть,
если a > b , то a + c > b + c и a - c > b - c
Из этого следует, что можно переносить члены неравенства из одной части в другую с противоположным знаком. Например, прибавив к обеим частям неравенства a - b > c - d по d , получим:
a - b > c - d
a - b + d > c - d + d
a - b + d > c
- Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство, то есть,
- Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то получится неравенство противоположное данному, то есть
Следовательно, при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число надо изменить знак неравенства на противоположный.
Это свойство можно использовать для изменения знаков у всех членов неравенства, умножая обе его части на -1 и изменяя знак неравенства на противоположный:
-a + b > -c
(-a + b ) · -1 < (-c ) · -1
a - b < c
Неравенство -a + b > -c равносильно неравенству a - b < c
