В последнее время в задании С2 встречаются задачи, в которых необходимо построить сечение многогранника плоскостью и найти его площадь. Такая задача предложена в демоверсии. Часто бывает удобно находить площадь сечения через площадь его ортогональной проекции. В презентации приведена формула для такого решения и подробный разбор задачи, который сопровождается серией чертежей.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Подготовка к ЕГЭ – 2014 по математике. Нахождение площади сечения через площадь его ортогональной проекции. Задание С2 Учитель математики МБОУ СОШ № 143 г. Красноярска Князькина Т. В.

Рассмотрим решение такой задачи: В прямоугольном параллелепипеде, . Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью ABC угол. Найдите площадь сечения. Ч асто бывает удобно находить площадь сечения через площадь его ортогональной проекции. Нахождение площади треугольника через площадь его ортогональной проекции легко иллюстрируется таким рисунком:

CH- высота треугольника ABC , C ‘H – высота треугольника ABC " , который является ортогональной проекцией треугольника ABC . Из прямоугольного треугольника CHC " : Площадь треугольника ABC " равна Площадь треугольника ABC равна Cледовательно, площадь треугольника ABC равна площади треугольника ABC ‘, деленной на косинус угла между плоскостями треугольника ABC и треугольника ABC " , который является ортогональной проекцией треугольника ABC .

Поскольку площадь любого многоугольника можно представить в виде суммы площадей треугольников, площадь многоугольника равна площади его ортогональной проекции на плоскость деленной на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции. Используем этот факт для решения нашей задачи (см. слайд 2) План решения такой: А) Строим сечение. Б) Находим его ортогональную проекцию на плоскость основания. В) Находим площадь ортогональной проекции. Г) Находим площадь сечения.

1. Сначала нам нужно построить это сечение. Очевидно, что отрезок BD принадлежит плоскости сечения и плоскости основания, то есть принадлежит линии пересечения плоскостей:

Угол между двумя плоскостями – это угол между двумя перпендикулярами, которые проведены к линии пересечения плоскостей и лежат в этих плоскостях. Пусть точка O – точка пересечения диагоналей основания. OC – перпендикуляр к линии пересечения плоскостей, который лежит в плоскости основания:

2. Определим положение перпендикуляра, который лежит в плоскости сечения. (Помним, что если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Ищем наклонную по ее проекции (OC) и углу между проекцией и наклонной). Найдем тангенс угла COC ₁ между OC ₁ и OC

Следовательно, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания больше, чем между OC ₁ и OC. То есть сечение расположено как-то так: K – точка пересечения OP и A ₁C₁, LM||B₁D₁ .

Итак, вот наше сечение: 3. Найдем проекцию сечения BLMD на плоскость основания. Для этого найдем проекции точек L и M .

Четырехугольник BL ₁M₁D – проекция сечения на плоскость основания. 4. Найдем площадь четырехугольника BL ₁M₁D . Для этого из площади треугольника BCD вычтем площадь треугольника L ₁CM₁ Найдем площадь треугольника L ₁CM₁ . Треугольник L ₁CM₁ подобен треугольнику BCD . Найдем коэффициент подобия.

Для этого рассмотрим т реугольники OPC и OKK₁ : Следовательно, и площадь треугольника L₁CM₁ составляет 4/25 площади треугольника BCD (отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия). Тогда площадь четырехугольника BL₁M₁D равна 1-4/25=21/25 площади треугольника BCD и равна

5. Теперь найдем 6 . И, наконец, получаем: Ответ: 112

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Проверочная работа по дисциплине "Инженерная компьютерная графика" состоит из четырех тестовых заданий на установление соответствия. На выполнение заданий отводится 15-20 минут....

Подготовка к ЕГЭ-2014 по математике. Применение производной и первообразной (прототипы В8 из открытого банка заданий ЕГЭ)

Презентация с кратким курсом теории и решениями различных прототипов В8 из открытого банка заданий ЕГЭ. Возможно применение для интерактивной доски или ПК учеников для самостоятельной подготовки....

Подготовка к ЕГЭ-2014 по математике. Решение задания С1.

В материале приведены решения задания С1 (тригонометрического уравнения)и 4 способа отбора корней, принадлежащих промежутку: с помощью тригонометрической окружности, с помощью графика функции, перебор...

Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 55. Площадь проекции многоугольника.

Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 164).

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, сумма площадей которых равна площади многоугольника. Поэтому теорему достаточно доказать для треугольника.

Пусть /\ АВС проектируется на плоскость р . Рассмотрим два случая:
а) одна из сторон /\ АВС параллельна плоскости р ;
б) ни одна из сторон /\ АВС не параллельна р .

Рассмотрим первый случай : пусть [АВ] || р .

Проведем через (АВ) плоскость р 1 || р и спроектируем ортогонально /\ АВС на р 1 и на р (рис. 165); получим /\ АВС 1 и /\ А"В"С" .
По свойству проекции имеем /\ АВС 1 /\ А"В"С" , и поэтому

S /\ ABC1 = S /\ A"B"C"

Проведем _|_ и отрезок D 1 C 1 . Тогда _|_ , a = φ есть величина угла между плоскостью /\ АВС и плоскостью р 1 . Поэтому

S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | АВ | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

и, следовательно, S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Перейдем к рассмотрению второго случая . Проведем плоскость р 1 || р через ту вершину /\ АВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).
Спроектируем /\ АВС на плоскости р 1 и р (рис. 166); пусть его проекциями будут соответственно /\ АВ 1 С 1 и /\ А"В"С".

Пусть (ВС) p 1 = D. Тогда

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1 - S /\ ADB1 = (S /\ ADC - S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Задача. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом φ = 30° к плоскости ее основания. Найти площадь образующегося сечения, если сторона основания призмы а = 6 см.

Изобразим сечение данной призмы (рис. 167). Так как призма правильная, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, /\ АВС есть проекция /\ АDС, поэтому

Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 164).

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, сумма площадей которых равна площади многоугольника. Поэтому теорему достаточно доказать для треугольника.

Пусть \(\Delta\)АВС проектируется на плоскость р . Рассмотрим два случая:

а) одна из сторон \(\Delta\)АВС параллельна плоскости р ;

б) ни одна из сторон \(\Delta\)АВС не параллельна р .

Рассмотрим первый случай : пусть [АВ] || р .

Проведем через (АВ) плоскость р 1 || р и спроектируем ортогонально \(\Delta\)АВС на р 1 и на р (рис. 165); получим \(\Delta\)АВС 1 и \(\Delta\)А’В’С’.

По свойству проекции имеем \(\Delta\)АВС 1 \(\cong\) \(\Delta\) А’В’С’, и поэтому

S \(\Delta\)ABC1 = S \(\Delta\)A’B’C’

Проведем ⊥ и отрезок D 1 C 1 . Тогда ⊥ , a \(\widehat{CD_{1}C_{1}}\) = φ есть величина угла между плоскостью \(\Delta\) АВС и плоскостью р 1 . Поэтому

S \(\Delta\) ABC1 = 1 / 2 |AB| |C 1 D 1 | = 1 / 2 |АВ| |CD 1 | cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ

и, следовательно, S \(\Delta\)A’B’C’ = S \(\Delta\)ABC cos φ.

Перейдем к рассмотрению второго случая . Проведем плоскость р 1 || р через ту вершину \(\Delta\)АВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).

Спроектируем \(\Delta\)АВС на плоскости р 1 и р (рис. 166); пусть его проекциями будут соответственно \(\Delta\)АВ 1 С 1 и \(\Delta\)А’В’С’.

Пусть (ВС) \(\cap \) p 1 = D. Тогда

S \(\Delta\)A’B’C’ = S \(\Delta\)AB1 C1 = S \(\Delta\)ADC1 - S \(\Delta\)ADB1 = (S \(\Delta\)ADC - S \(\Delta\)ADB) cos φ = S \(\Delta\)ABC cos φ

Задача. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом φ = 30° к плоскости ее основания. Найти площадь образующегося сечения, если сторона основания призмы а = 6 см.

Изобразим сечение данной призмы (рис. 167). Так как призма правильная, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, \(\Delta\)АВС есть проекция \(\Delta\)АDС, поэтому
$$ S_{\Delta ADC} = \frac{S_{\Delta ABC}}{cos\phi} = \frac{a\cdot a\sqrt3}{4cos\phi} $$
или
$$ S_{\Delta ADC} = \frac{6\cdot 6\cdot \sqrt3}{4\cdot\frac{\sqrt3}{2}} = 18 (см^2) $$

Рассмотрим плоскость p и пересекающую её прямую . Пусть А - произвольная точка пространства. Через эту точку проведём прямую , параллельную прямой . Пусть . Точка называется проекцией точки А на плоскость p при параллельном проектировании по заданной прямой . Плоскость p , на которую проектируются точки пространства называется плоскостью проекции.

p - плоскость проекции;

- прямая проектирования; ;

; ; ;

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования. Ортогональное проектирование - это такое параллельное проектирование, при котором прямая проектирования перпендикулярна плоскости проекции. Ортогональное проектирование широко применяется в техническом черчении, где фигура проектируется на три плоскости - горизонтальную и две вертикальные.

Определение : Ортогональной проекцией точки М на плоскость p называется основание М 1 перпендикуляра ММ 1 , опущенного из точки М на плоскость p .

Обозначение : , , .

Определение : Ортогональной проекцией фигуры F на плоскость p называется множество всех точек плоскости, являющихся ортогональными проекциями множества точек фигуры F на плоскость p .

Ортогональное проектирование, как частный случай параллельного проектирования, обладает теми же свойствами:

p - плоскость проекции;

- прямая проектирования; ;

1) ;

2) , .

1. Проекции параллельных прямых параллельны.

ПЛОЩАДЬ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Теорема : Площадь проекции плоского многоугольника на некоторую плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

1 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, сторона которого АС лежит в плоскости проекции a (параллельна плоскости проекции a).

Дано :

Доказать :

Доказательство :

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. По теореме о трёх перпендикулярах ;

ВD – высота ; В 1 D – высота ;

5. – линейный угол двугранного угла ;

6. ; ; ; ;

2 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, ни одна из сторон которого не лежит в плоскости проекции a и не параллельна ей.

Дано :

Доказать :

Доказательство :

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(1 этап);

5. ; ; ;

(1 этап);

Этап: Проектируемая фигура – произвольный многоугольник.

Доказательство :

Многоугольник разбивается диагоналями, проведёнными из одной вершины, на конечное число треугольников, для каждого из которых теорема верна. Поэтому теорема будет верна и для суммы площадей всех треугольников, плоскости которых образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Замечание : Доказанная теорема справедлива для любой плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой.

Упражнения :

1. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – правильный треугольник со стороной а.

2. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 12 см.

3. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – треугольник со сторонами 9, 10 и 17 см.

4. Вычислить площадь трапеции, плоскость которой наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция её – равнобедренная трапеция, большее основание которой 44 см, боковая сторона 17 см и диагональ 39 см.

5. Вычислить площадь проекции правильного шестиугольника со стороной 8 см, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом .

6. Ромб со стороной 12 см и острым углом образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

7. Ромб со стороной 20 см и диагональю 32 см образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

8. Проекция навеса на горизонтальную плоскость есть прямоугольник со сторонами и . Найти площадь навеса, если боковые грани – равные прямоугольники, наклонённые к горизонтальной плоскости под углом , а средняя часть навеса – квадрат, параллельный плоскости проекции.

11. Упражнения по теме «Прямые и плоскости в пространстве»:

Стороны треугольника равны 20 см, 65 см, 75 см. Из вершины большего угла треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр, равный 60 см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до большей стороны треугольника.

2. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы, равные , а между собой – прямой угол. Найти расстояние между точками пересечения наклонных с плоскостью.

3. Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М выбрана так, что отрезки, соединяющие точку М со всеми вершинами треугольника, образуют с его плоскостью углы . Найти расстояние от точки М до вершин и сторон треугольника.

4. Через сторону квадрата проведена плоскость под углом к диагонали квадрата. Найти углы, под которыми наклонены к плоскости две стороны квадрата.

5. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости a, проходящей через гипотенузу, под углом . Доказать, что угол между плоскостью a и плоскостью треугольника равен .

6. Двугранный угол между плоскостями треугольников АВС и DВС равен . Найти АD, если АВ = АС =5 см, ВС = 6 см, ВD = DС = см.

Контрольные вопросы по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

1. Перечислить основные понятия стереометрии. Сформулировать аксиомы стереометрии.

2. Доказать следствия из аксиом.

3. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве? Дать определения пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых.

4. Доказать признак скрещивающихся прямых.

5. Каково взаимное расположение прямой и плоскости? Дать определения пересекающихся, параллельных прямой и плоскости.

6. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.

7. Каково взаимное расположение двух плоскостей?

8. Дать определение параллельных плоскостей. Доказать признак параллельности двух плоскостей. Сформулировать теоремы о параллельных плоскостях.

9. Дать определение угла между прямыми.

10. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

11. Дать определения основания перпендикуляра, основания наклонной, проекции наклонной на плоскость. Сформулировать свойства перпендикуляра и наклонных, опущенных на плоскость из одной точки.

12. Дать определение угла между прямой и плоскостью.

13. Доказать теорему о трех перпендикулярах.

14. Дать определения двугранного угла, линейного угла двугранного угла.

15. Доказать признак перпендикулярности двух плоскостей.

16. Дать определение расстояния между двумя различными точками.

17. Дать определение расстояния от точки до прямой.

18. Дать определение расстояния от точки до плоскости.

19. Дать определение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.

20. Дать определение расстояния между параллельными плоскостями.

21. Дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

22. Дать определение ортогональной проекции точки на плоскость.

23. Дать определение ортогональной проекции фигуры на плоскость.

24. Сформулировать свойства проекций на плоскость.

25. Сформулировать и доказать теорему о площади проекции плоского многоугольника.